Question

已知

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

)，

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)．
（Ⅰ）设f(x)=

AC

•

BC

，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）设有不相等的两个实数x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）=f（x₂）=1，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的最小正周期，先计算平面向量的向量积

AC

•

BC

，再利用三角函数相关性质化简，最后利用公式T=

2π

w

求出最小正周期；根据化简得到的三角函数性质易求出单调递减区间．
（Ⅱ）由于实数x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，根据所求出的三角函数性质求出这两个实数，即可得到x₁+x₂的值．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

AC

•

BC

得f（x）=(cos

x

2

+sin

x

2

)•(cos

x

2

-sin

x

2

)+(-sin

x

2

)•2cos

x

2

．（4分）
=cos2

x

2

-sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx=

2

(cosx•

2

2

-sinx•

2

2

)
=

2

cos(x+

π

4

)（6分）
所以f（x）的最小正周期T=2π，（8分）
又由2kπ≤x+

π

4

≤π+2kπ，k∈Z，
得-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z、
故f（x）的单调递减区间是[-

π

4

+2kπ，

3π

4

+2kπ]（k∈Z）、．（10分）
（Ⅱ）由f（x）=1得

2

cos(x+

π

4

)=1，
故cos(x+

π

4

)=

2

2

．
又x∈[-

π

2

，

π

2

]，于是有x+

π

4

∈[-

π

4

，

3

4

π]，得x1=0，x2=-

π

2

（12分）
所以x1+x2=-

π

2

．（13分）

点评：本题考查平面向量的数量积运算，同时考查三角函数的相关性质．