题目内容
(2013•资阳模拟)已知函数f(x)=2sin(x-
)cosx+sinxcosx+
sin2x(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,A>B,f(B)=
,AC=4
,求BC边的最大值.
π |
3 |
3 |
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,A>B,f(B)=
3 |
3 |
分析:(I)利用两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出;
(II )利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出.
(II )利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2(
sinx-
cosx)cosx+sinxcosx+
sin2x
=2sinxcosx-
(cos2x-sin2x)
=sin2x-
cos2x
=2sin(2x-
).
由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,得-
+kπ≤x≤
+kπ(k∈Z).
∴f(x)单调递增区间是[-
+kπ,
+kπ](k∈Z).
(Ⅱ)由f(B)=
得sin(2B-
)=
.
∵A>B,∴0<B<
,则-
<2B-
<
,
从而2B-
=
,∴B=
.
由正弦定理,得
=
,即BC=8sin∠BAC.
∵B=
,∠BAC>B,∴
<∠BAC<
.
∴
<sin∠BAC≤1,4
<BC≤8.
∴当∠BAC=
,C=
时,BC取得最大值8.
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
=2sinxcosx-
3 |
=sin2x-
3 |
=2sin(2x-
π |
3 |
由-
π |
2 |
π |
3 |
π |
2 |
π |
12 |
5π |
12 |
∴f(x)单调递增区间是[-
π |
12 |
5π |
12 |
(Ⅱ)由f(B)=
3 |
π |
3 |
| ||
2 |
∵A>B,∴0<B<
π |
2 |
π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
从而2B-
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
由正弦定理,得
4
| ||
sin
|
BC |
sin∠BAC |
∵B=
π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
∴
| ||
2 |
3 |
∴当∠BAC=
π |
2 |
π |
6 |
点评:本题考查了两角和的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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