题目内容

(2013•资阳模拟)已知函数f(x)=2sin(x-
π
3
)cosx+sinxcosx+
3
sin2x
(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,A>B,f(B)=
3
AC=4
3
,求BC边的最大值.
分析:(I)利用两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出;
(II )利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2(
1
2
sinx-
3
2
cosx)cosx+sinxcosx+
3
sin2x

=2sinxcosx-
3
(cos2x-sin2x)

=sin2x-
3
cos2x

=2sin(2x-
π
3
)

-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
π
2
+2kπ
,得-
π
12
+kπ≤x≤
12
+kπ
(k∈Z).
∴f(x)单调递增区间是[-
π
12
+kπ,  
12
+kπ]
(k∈Z).
(Ⅱ)由f(B)=
3
sin(2B-
π
3
)=
3
2

∵A>B,∴0<B<
π
2
,则-
π
3
<2B-
π
3
3

从而2B-
π
3
=
π
3
,∴B=
π
3

由正弦定理,得
4
3
sin
π
3
=
BC
sin∠BAC
,即BC=8sin∠BAC.
B=
π
3
,∠BAC>B,∴
π
3
<∠BAC<
3

3
2
<sin∠BAC≤1
4
3
<BC≤8

∴当∠BAC=
π
2
,C=
π
6
时,BC取得最大值8.
点评:本题考查了两角和的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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