Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b²=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足m•n=

3

2

．
（1）求sinAsinC的值；
（2）求证：三角形ABC为等边三角形．

Answer 1

分析：（1）由m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足m•n=

3

2

，我们不难得到cos（A-C）+cos（A+C）=

3

2

，和差化积后，即可得到sinAsinC的值；
（2）由（1）的结论及b²=ac，我们易得B角的大小，再由余弦定理，我们可以得到a，c两边的关系，进行判断三角形ABC为等边三角形．

解答：（1）解：由m•n=

3

2

得，
cos(A-C)+cosB=

3

2

，
又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）=

3

2

，
即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=

3

2

，
所以sinAsinC=

3

4

．
（2）证明：由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故sin2B=

3

4

．
于是cos2B=1-

3

4

=

1

4

，
所以cosB=

1

2

或-

1

2

．
因为cosB=

3

2

-cos（A-C）＞0，
所以cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即b²=a²+c²-ac，
又b²=ac，
所以ac=a²+c²-ac，
得a=c．
因为B=

π

3

，
所以三角形ABC为等边三角形．

点评：要想判断一个三角形的形状，我们有两种思路：一是判断最大角是锐角、直角还是钝角；二是判断是否有两边长相等．