题目内容
已知函数f(x)=
，x∈[3，7]
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义法证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
| 3 | x |
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义法证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）任取3≤x1＜x2≤7，我们构造出f（x2）-f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x2）-f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（2）根据（1）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出最大值和最小值．
（2）根据（1）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出最大值和最小值．
解答：解：（1）函数f（x）区间[3，7]上单调递减．
任取x1，x2∈[3，7]，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
-
=
，
∵3≤x1＜x2≤7，∴x2-x1＞0，x1•x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减，
∴[f（x）]min=f（7）=
，[f（x）]max=f（3）=1．
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，
．
任取x1，x2∈[3，7]，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
| 3 |
| x1 |
| 3 |
| x2 |
| 3(x2-x1) |
| x1x2 |
∵3≤x1＜x2≤7，∴x2-x1＞0，x1•x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减，
∴[f（x）]min=f（7）=
| 3 |
| 7 |
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，
| 3 |
| 7 |
点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．
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