Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B和平面A₁B₁CD所成角的余弦值大小为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  6

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：连接B₁C交BC₁于点O，连接A₁O，证明BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，所以∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角，在Rt△A₁BO中求解即可．

解答：解：连接B₁C交BC₁于点O，连接A₁O．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B₁．
所以A₁B₁⊥BC₁．
又因为BC₁⊥B₁C，BC₁∩B₁C=O
所以BC₁⊥平面A₁B₁CD 
所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，
所以∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为1，
所以在△A₁BO中，A₁B=

2

，OB=

2

2

，
所以sin∠BA₁O=

1

2

，
所以cos∠BA₁O=

3

2

．
故选：D．

点评：本题考查空间直线与平面垂直关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力，属于中档题．