Question

（本小题满分12分）

如图5，在直三棱柱中，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面和平面夹角的余弦值.

Answer 1

（1）证明：设交于点O，则O为的中点.

在△中，连接OD，D，O分别为AB，的中点，故OD为△的中位线，

∥，又，，∥平面.……6分

(2)解法一：过作于，连接.由底面可得.

故∠为二面角----的平面角.在△中，△

中，tan∠=,二面角的余弦值为.………12分

解法二：∵直三棱柱底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC,BC,两两垂直.

如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-，

则C（0，0，0），A（3，0，0），(0,0,4)，B(0,4,0),

(0,4,4).

平面ABC的一个法向量为，设平面AB的一个

法向量为，

由得令

则.故

∴平面和平面夹角的余弦值为.   ……………12分