Question

6．在锐角△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知acsinC=（a²+c²-b²）sinB．
（1）若∠C=$\frac{π}{6}$，求∠A的大小；
（2）若a≠b，求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用余弦定理和二倍角的正弦公式，由条件，结合锐角三角形，计算即可得到A；
（2）运用余弦定理和二倍角的正弦公式，求得C和B的关系，注意条件a≠b的运用，再由锐角三角形求得B的范围，再由二倍角的余弦公式，配方，运用余弦函数的单调性和二次函数的值域求法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
即为sinC=2•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$sinB，
即sinC=2cosBsinB=sin2B，
若∠C=$\frac{π}{6}$，则sin2B=$\frac{1}{2}$，
即有2B=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{12}$，A=π-$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$（舍去），
或2B=$\frac{5π}{6}$，即B=$\frac{5π}{12}$，A=π-$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$．
则有∠A=$\frac{5π}{12}$；
（2）由（1）可得sinC=2cosBsinB=sin2B，
即有C=2B，或C=π-2B，
当C=π-2B，则A=π-B-（π-2B）=B（舍去），
当C=2B，则A=π-B-2B=π-3B，
a≠b即为A≠B，即有B≠$\frac{π}{4}$，
由锐角△ABC，则0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
即0＜π-3B＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜2B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，
则有cosB+cosC=cosB+cos2B=2cos²B+cosB-1
=2（cosB+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
由于cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即有cosB+cosC∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）．

点评 本题考查余弦定理的运用，同时考查二倍角的正弦和余弦公式和余弦函数的单调性及运用，由锐角三角形求得B的范围是解题的关键．