Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q≠1的等比数列，S_n是其前n的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（1）求q³的值；
（2）证明：12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

Answer 1

分析：（1）由题意a₁，2a₇，3a₄成等差数列可得4a₇=a₁+3a₄，由于问题中两个问题都只和公比的三次方有关，故从此等式中解出公比的三次方即可；
（2）证明三数成等比数列，需要先求出前n项和公式，然后将公式代入由等比关系转化成的方程进行验证证明即可．

解答：解：（1）∵a₁，2a₇，3a₄成等差数列，
∴4a₇=a₁+3a₄，又数列{a_n}是首项为a且公比q≠1的等比数列，
∴4aq⁶=a+3aq³，
整理得：4（q³）²-3q³-1=0，即（4q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-

1

4

或q³=1（舍去），
则q³=-

1

4

；
（2）∵q³=-

1

4

，
∴

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

，
而

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1
=1+q6-1=q6=

1

16

=

S6

12S3

，
∴S₆²=12S₃•（S₁₂-S₆），
则12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比关系的确定，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．