Question

设f(x)=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

(0≤x≤

π

2

)．
（1）用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）用二倍角公式对f（x）化简得f（x）=-sin²x+asinx+

2-a

4

，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=

a

2

的抛物线，根据二次函数的性质，对a进行讨论得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表达式即可得出结果．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

=-sin²x+asinx+

2-a

4

，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则g（t）=-t²+at+

2-a

4

，t∈[0，1]
∴M（a）=

3a 4 - 1 2 (a≥2) 1 2 - a 4 + a2 4 (0＜a≤2) 1 2 - a 4 (a≤0)

．
（2）当M（a）=2时，

3a

4

-

1

2

=2?a=

10

3

；

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2?a=3或a=-2（舍）；

1

2

-

a

4

=2?a=-6．
∴a=

10

3

或a=-6．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．