Question

18．如图，锐角△ABC内接于圆0．过圆心0且垂直于半径0A的直线分别交边AB、AC于点E、F．设圆0在B、C两点处的切线相交于点P．求证：直线AP平分线段EF．

Answer 1

分析 过P作EF的平行线，分别交AB，AC的延长线于点M，N，证明AP平分线段MN，即可证明直线AP平分线段EF．

解答 证明：过P作EF的平行线MN，分别交AB，AC的延长线于点M，N，则∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE，
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}（180°-∠AOB）$=90°-∠ACB，
∴∠PMB=∠ACB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠PBM=∠ACB，
∴∠PMB=∠PBM，
∴PM=PB．
同理PN=PC，
∵PB=PC，
∴PM=PN，
∴AP平分线段MN，
∵EF∥MN，
∴直线AP平分线段EF．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查直线AP平分线段EF，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．