Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1）=f（1-x）可得f（x）=f（2-x），然后由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），可得函数的周期性
（2））由x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．可求x∈[-2，0]时的函数解析式，根据周期可求x∈[2，4]时函数解析式（3）根据已知可分别求解f（1），f（2），f（3），f（4），进而根据周期可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）

解答：证明：（1）∵对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）
∴f（x）=f（2-x）
∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）
∴函数f（x）是以4为周期的周期函数
解：（2））∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
当x∈[-2，0]时，可得f（x）=2x+x²
设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=f（x）
∴f（x）=x²-6x+8
（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=1

点评：本题主要考查了函数的周期的求解及应用及根据函数性质求解函数的解析式及函数值的求解，解题的关键是熟练应用函数的基本性质