Question

已知函数f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在区间[1，2]上恒有意义．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．

Answer 1

分析：（I）因为函数f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在区间[1，2]上恒有意义故?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立转化为 4a＜x（8-x）对?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min然后利用二次函数的单调性判断求最小值即可．
（Ⅱ）由于f（x）为复合函数因此要利用复合函数的单调性来判断f（x）的单调性．由（1）知a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
因此要分0＜a＜1，1＜a＜

7

4

来讨论故令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）则g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

故导函数的符号取决于2

a

-x的大小，所以要分2

a

≤1，0＜a≤

1

4

，1＜2

a

＜2，

1

4

＜a＜1，2

a

＞2即a＞1
三种情况来讨论只要判断出单调性就可求解了．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0
故 4a＜x（8-x），令h（x）=x（8-x）
∴函数在区间[1，2]上为增函数，当x=1时有最小值7，故4a＜7，由a＞0且a≠1
因此a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
（Ⅱ）令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）则g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

，，
①当2

a

≤1，0＜a≤

1

4

时g^′（x）≤0，等号成立的条件时当且仅当x=1且2

a

=1，此时g（x）是单调递减函数所以f（x）为单调递增函数，故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

②当1＜2

a

＜2，即

1

4

＜a＜1时，
因此当1≤x＜2

a

g^′（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
    当2

a

＜x≤2时，g^′（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
故g(x)max=g(2

a

)=8-4

a

g(x)min=

6-2a 1 4 ＜a≤ 1 2 7-4a 1 2 ＜a＜1

因此M=loga

g(x)min

g(x)max

=

loga 3-a 4-2 a loga 7-4a 8-4 a 1 2 ＜a＜ 1

1

4

＜a≤

1

2

③当2

a

＞2即a＞1时g^′（x）＞0，g（x）是单调递增函数，所以f（x）是单调递增函数
故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

综上所述当0＜a≤

1

4

或1＜a＜

7

4

时M=loga

6-2a

7-4a

，当

1

4

＜a≤

1

2

时M=loga

3-a

4-2 a

，当

1

2

＜a＜1时M=loga

7-4a

8-4 a

．

点评：本题主要考查了利用导函数求闭区间上的最值．第一问考查了恒成立的问题关键是将恒成立的问题转化为求最大最小值问题故将?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立转化为 4a＜x（8-x）对?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min才是解题的关键所在．第二问主要考查了利用同增异减这一法则来判断复合函数的单调性，而求解的关键是要判断g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）的单调性即判断g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

的符号故需对a进行讨论．