Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

4

=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．
（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）利用“点差法”求得直线的斜率即可得到直线的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，满足OP⊥AB，求出此时直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式即可．

解答：解：（1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得

x 2 1 9 + y 2 1 4 =1     ① x 2 2 9 + y 2 2 4 =1    ②

又∵P（2，1）是AB的中点，∴

x1+x2=4 y1+y2=2

．
由①-②得 

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

8

9

．
∴直线AB的方程为y-1=-

8

9

（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．
∵k_OP=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
联立方程组 

2x+y-5=0 x2 9 + y2 4 =1

得 40x²-180x+189=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 

x1+x2= 9 2 x1x2= 189 40

，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

3

．
∴S_△AOB=

1

2

|OP||AB|=

3

4

15

．

点评：会应用“点差法”解决有关中点弦的问题；知道：当原点O到直线AB的距离取最大值时满足OP⊥AB，及熟练掌握点到直线的距离公式、弦长公式是解题的关键．