Question

【题目】已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线（，）与椭圆C交于两点A、B，点D满足，经过点D及点的直线的斜率为，求证：.

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），根据a2=b2+c2，椭圆C过点（0，1），离心率为，即可求得椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）由题意知点D为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），由题意知xD=﹣4kyD，，从而求出，进而得到，由此可知．

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.所以.

所以，椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）方法一： ，点D为线段AB的中点

设 ，

，∴

由，得，

∵，

∴，

，∴．

方法2： ，点D为线段AB中点，

设 ，，∴，

由，得，

∵，∴，

，∵，，∴．

方法3：由，得，

令，得，

设，

，点D为线段AB的中点，

设，，

∵，∴，

，

∵，，∴．