Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=3S_n+1成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=(-1)n•(2n-1)•an，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，由a₁=3S₁+1求出a1=-

1

2

，又a_n=3S_n+1，a_n+1=3S_n+1+1，相减可得

an+1

an

=-

1

2

，从而求得数列{a_n}的通项公式．
（2）先依据题意求出bn=(-1)n•(2n-1)•(-

1

2

)n=(2n-1)(

1

2

)n，再利用错位相减法求数列的前n项和．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=3S₁+1，∴a1=-

1

2

．
又∵a_n=3S_n+1，a_n+1=3S_n+1+1，
∴an+1-an=3an+1，即

an+1

an

=-

1

2

，∴an=(-

1

2

)n．
（2）bn=(-1)n•(2n-1)•(-

1

2

)n=(2n-1)(

1

2

)n，
∴Tn=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n-1)×(

1

2

)n．…①
故

1

2

Tn=(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1．…②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2×[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n-1)×(

1

2

)n+1，
∴Tn=1+4×

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-2×(2n-1)×(

1

2

)n+1=1+2[1-(

1

2

)n-1]-2•(2n-1)•(

1

2

)n+1
=3-(n+

3

2

)(

1

2

)n-1．

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项之间的关系，用错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．