Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y）．由于k_OP+k_OA=k_PA，利用斜率计算公式可得，化简即为点P的轨迹方程．
（2）假设存在点P，Q．使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM，则点M为线段AQ的中点．
∵=λ，∴PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．于是，解出即可判断是否符合条件的点P存在．
解答：解：（1）设点P（x，y）．∵k_OP+k_OA=k_PA，∴，化为y=x²（x≠0，-1）．即为点P的轨迹方程．
（2）假设存在点P，Q．使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM，则点M为线段AQ的中点．
∵=λ，∴PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．
∴，解得．此时P（-1，1），Q（0，0）分别与A，O重合，因此不符合题意．
故假设不成立，及不存在满足条件的点P．
点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标计算公式、三角形的面积计算公式、反证法等是解题的关键．