Question

已知函数f(x)=2msin2x-2

3

msinxcosx+n的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）在△ABC中，∠A=

π

3

，求函数y=-nsinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)+m的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换求出函数f（x）的解析式为-2msin(2x+

π

6

)+m+n，分m＞0和m＜0两种情况，根据函数的定义域求出值域，结合值域求出m、n的值．
（2）根据 C=

2

3

π-B，得

C-3B

2

-

π

3

=-2B，分m=3，n=-2和m=-3，n=1两种情况，根据B的范围求出sinB的范围，从而求出函数的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx+n=-mcos2x-

3

msin2x+m+n
=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，
由x∈[0，

π

2

] 可得，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
若m＞0，f（x）∈[-m+n，2m+n]，则

-m+n=-5 2m+n=4

，∴m=3，n=-2．
若m＜0，f（x）∈[2m+n，-m+n]，则

-m+n=4 2m+n=-5

，m=-3，n=1．
（2）∵C=

2

3

π-B，∴

C-3B

2

-

π

3

=-2B．
当m=3，n=-2时，y=2sinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)+3=2sinB+cos2B+3=-2sin²B+2sinB+4=-2(sinB-

1

2

)2+

9

2

．
∵B∈(0，

2

3

π)，∴sinB∈（0，1]，y∈[4，

9

2

]．
当m=-3，n=1时，y=-sinB+cos(

C-3B

2

-

π

3

)-3=-sinB+cos2B-3=-2sin²B-sinB-2=-2(sinB+

1

4

)2-

15

8

．
∵B∈(0，

2

3

π)，
∴sinB∈（0，1]，y∈[-5，-2）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，用待定系数法求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．