Question

已知等差数列{a_n}满足a₂+a₃=10，前6项的和为42．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和S_n，且

1

bn

=a1+a2+…+an，若S_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差数列{a_n}满足a₂+a₃=10，前6项的和为42，我们构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）的结论，我们利用等差数列前n项和公式，易求了数列{b_n}的通项公式，进而得到S_n的表达式，由S_n＜m恒成立，我们易根据函数恒成立问题的求法，求出m的最小值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则2a₁+3d=10，
6a1+

6×5

2

d=42（2分）
解得

a1=2 d=2

（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n（6分）
（2）因为

1

bn

=a1+a2++an=（7分）
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

（11分）
因为S_n＜m恒成立，∴m＞（S_n）_max∴m≥1
所以m的最小值为1（14分）

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，及数列的求和，其中根据已知条件构造关于基本量（首项和公差）的方程，进而得到数列{a_n}的通项公式，是解答本题的关键．