Question

（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意

其中为数列的前项和. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.

Answer 1

(Ⅰ) ，   (Ⅱ)  （Ⅲ）略

解析:

解（I）由已知，当时，，又……1分

当①

  ②……2分

由①－②得，

…………3分

适合上式. ………4分

   （Ⅱ）由（I）知，  ③当，  ④……5分

由③－④得， …………6分

又数列是等差数列，首项为1，公差为1.∴.

（Ⅲ）∵，∴.要使恒成立，

 

恒成立，即恒成立. ……9分

（i）当n为奇数时，即恒成立，又的最小值为，∴.

（ii）当n为偶数时，即恒成立，又－的最大值为，

∴.即，又 ，为整数，

∴，使得对任意，，都有.        ……………12分