Question

5人站成一排．
（1）有多少种不同排法？
（2）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种排法？
（3）甲乙必须相邻，有多少不同排法？
（4）甲乙不能相邻有多少不同排法？

Answer 1

分析：（1）根据5人站成一排的种数是一个全排列；
（2）甲不站排头，乙不站排尾，可按甲在尾与不在尾分为两类进行求解；
（3）甲乙必须相邻，可利用捆绑法进行求解；
（4）甲乙不能相邻，可利用插空法进行求解．

解答：解：（1）5人站成一排的全排列为A₅⁵=120----------（2分）
（2）甲不能站排头，乙不能站排尾排法计数可分为两类，第一类甲在末尾，排法和数有A₄⁴，第二类甲不在末尾，先排甲，有A₃¹种方法，再排乙有A₃¹种方法，剩下的四人有A₃³种排法，故有A₃¹×A₃¹×A₃³种方法，由此，总排法有A₄⁴+3×3×A₃³=78----------（4分）
（3）甲乙必须相邻，将甲与乙捆绑起来看成一个，4个的全排列为A₄⁴，甲乙顺序有A₂²种，则一共有A₂²A₄⁴=48----------（6分）
（4）甲乙不能相邻，另外3人有四个空，任选两个插入甲和乙有A₄²种3人的全排列为A₃³种，一共有A₃³A₄²=72----------（8分）

点评：本题主要考查了排列、组合的实际应用，以及相邻问题利用捆绑法和不相邻问题利用插空法，属于中档题．