Question

如图，已知，A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交抛物线于M、N两点，交y轴于B、C两点。

（1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；
（3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

Answer 1

解：（1）∵D、E、F、A四点共圆，
∴EF是圆及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，
∴EF的方程为7x+4y-8=0。
（2）设AM的方程为y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0，由其与圆（x-1）²+y²=1相切得

∴
把与联立可得
易得N（2，-2），
∴MN的方程为3x+2y-2=0。
（3）设A（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b>c，直线PB的方程为

即
又圆心（1，0）到AB的距离为1，
所以
故
又x₀>2，上式化简得
同理有
故b，c是方程的两个实数根
所以
则
因为A（x₀，y₀）是抛物线上的点，
所以有
则
∴

所以当时，上式取等号，
此时
因此S_△ABC的最小值为8。