题目内容
某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
分析：先以A为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系得到A、F、E、C的坐标．设出抛物线的解析式把F坐标代入可求出，根据坐标EC所在直线的方程，设出P的坐标表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面积公式表示出S，求出S′=0时的值来讨论S的增减性得到S的最大值即可．
解答：
解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，
则A（0，0），F（2，4），
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），
由4=a×22得，a=1，
∴AF所在抛物线的方程为y=x2，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直线的方程为y=x+4，
设P（x，x2）（0＜x＜2），
则PQ=x，QE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴工业园区的面积S=
(4-x2+4+x-x2)•x=-x3+
x2+4x（0＜x＜2），
∴S'=-3x2+x+4，令S'=0得x=
或x=-1（舍去负值），
当x变化时，S'和S的变化情况如下表：
由表格可知，当x=
时，S取得最大值
．
答：该高科技工业园区的最大面积
．
解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则A（0，0），F（2，4），
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2（a＞0），
由4=a×22得，a=1，
∴AF所在抛物线的方程为y=x2，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直线的方程为y=x+4，
设P（x，x2）（0＜x＜2），
则PQ=x，QE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴工业园区的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S'=-3x2+x+4，令S'=0得x=
| 4 |
| 3 |
当x变化时，S'和S的变化情况如下表：
由表格可知，当x=
| 4 |
| 3 |
| 104 |
| 27 |
答：该高科技工业园区的最大面积
| 104 |
| 27 |
点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及会利用导数求闭区间上函数最值的能力．
练习册系列答案
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某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）．
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段．
某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．分别以直线AB，AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系．