Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）当x＞4时，求证：；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）先证明：当x＞4时，有，即lnx＜，
令g（x）=，则当x＞4时，有，
∴g（x）在（4，+∞）上是增函数，
∵g（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴当x＞4时，，
即，∴．
再证明：当x＞0时，有x＞ln（1+x），
令h（x）=x-ln（1+x），则当x＞0时，有=＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵h（0）=0，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
即ln（1+x）＜x，∴当x＞4时，有ln（1+）＜，
∴，即，
综上所述，当x＞4时，．
（2）先证明：不等式对x＞0恒成立，
因为=，
所以0＜x＜1，，
当x＞1时，，
综上所述，当x＞0时，恒有，
故当a＜0时，不等式对x＞0恒成立，
下面证明，当a＞0时，不等式对x＞0不恒成立．
令a＞0，当x＞4时，由（1）知，
∴，
∴，即x＞．
取，
则总有，与已知矛盾．
故实数a的取值范围是（-∞，0）．
分析：（1）先证明：当x＞4时，有，即lnx＜．再证明：当x＞0时，有x＞ln（1+x）．由此能够证明：当x＞4时，．
（2）先证明：不等式对x＞0恒成立，再证明，当a＞0时，不等式对x＞0不恒成立．由此能够求出不等式恒成立时，实数a的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．