Question

已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．给出下列结论：
①f（

π

4

）=

1

2

②f（x）为奇函数  
③f（x）为周期函数  
④f（x）在（0，π）内为单调函数
其中正确的结论是______．（ 填上所有正确结论的序号）．

Answer 1

对于①令x=y=

π

4

得f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)cos

π

4

所以f(

π

4

)=

2

2

，故①错
对于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②对
对于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f(x+

π

2

)=-f(x-

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=-f(x+

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=f(x-

π

2

)∴f（x）的周期为2π，故③对
对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不单调，故④错
故答案为：②③