Question

已知函数f（x）自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．如f（x）=x²，则区间[0，1]为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（二）∵y=x^s在R上单调递增．m=f（m）=m^s，解得m=0或±二，
∴f（x）的保值区间为[0，+∞）或[二，+∞）或[-二，+∞）．（4分）
（j）函数不存在形0[a，b]的保值区间．若存在实数a、b使得函数g(x)=|

二

x

-二|，(x＞0)有形0[a，b]的保值区间，则a＞0，∵g(x)=|

二

x

-二|=

二- 二 x (x≥二) 二 x -二(0＜x＜二)

①若二≥b＞a＞0，
则g（x）=|二-

二

x

|=

二

x

-二
在[a，b]上单调递减
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，

二

b

-二=a，二-b=ab
g（a）=b，

二

a

-二=b，二-a=ab
两式相减得a=b，与题意不符；
②若b＞a＞二，
则g（x）=|二-

二

x

|=二-

二

x

在[a，b]上单调递增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，二-

二

a

=a，a-二=a^j
g（b）=b，二-

二

b

=b，b-二=b^j
可知a，b是方程x-二=x^j的两根
x^j-x+二=0，△=-s＜0，无解；
③若b＞二≥a＞0，
则g（x）=|二-

二

x

|
在[a，二]上单调递减，
在[二，b]上单调递增，
最小值g（二），最大值g（b）或g（a），
a=g（二）=0与a＞0矛盾；
综上所述不存在满足条件的a，b．