Question

16．已知数列{a_n}前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）．
（I）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和，若T_n＜a对正整数a都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和前n项和的关系，变形整理即可得到{a_n+2}是等比数列，由等比数列的通项公式，即可求得；
（Ⅱ）运用对数的运算性质，化简b_n，再由裂项相消求和，即可得到T_n，运用不等式恒成立思想即可得到a的范围．

解答 （Ⅰ）证明：由题设S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，
两式相减得a_n=2a_n-1+2，
即a_n+2=2（a_n-1+2），
又a₁+2=4，
所以{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，
a_n+2=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2（n≥2）
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）；
（Ⅱ）解：因为b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
即有$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
故T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$，
依题意得：a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和数列求和的方法：裂项相消求和，同时考查不等式恒成立思想转化为最值，属于中档题．