Question

已知函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）设g（x）=f（x）+c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3kx²+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得k=

1

3

…（2分）
（2）由（1）可知f(x)=

1

3

x3-2x2+

8

9

，f'（x）=x²-4x=x（x-4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值 8 9		极小值- 88 9

∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；      …（4分）
∴极大值为f(0)=

8

9

，极小值为f(4)=-

88

9

…（5分）
（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：g(-1)=f(-1)+c=-

13

9

+cg(2)=f(2)+c=-

40

9

+c…（6分）
∴g(x)min=-

40

9

+c≥2c+1，
∴c≤-

49

9

…（8分）