Question

已知函数，当恒成立的a的最小值为k，存在n个
正数，且，任取n个自变量的值

（I）求k的值；
（II）如果
（III）如果，且存在n个自变量的值，使，求证：

Answer 1

解：（Ⅰ）令，则，
，
当时，此时在条件下，，
则在上为减函数，所以，
所以在上为减函数，
所以当时，，即；
当，即时，存在，使得，
当时，，为减函数，则，
即在上递减，则时，，
所以，即；     （2分）
当，即时，，
则在上为增函数，即当时，，即；
当，即时，当时，，
则在上为增函数，当时，，即．
综上，，则的最小值．            （4分）
（Ⅱ）不妨设,
，，
所以在上为增函数，          （5分）
令．
,
当时, 因为，所以，  （7分）
即在上为增函数，所以，
则，
则原结论成立．         （8分）
（Ⅲ）（ⅰ）当时，结论成立；
（ⅱ）假设当结论成立，即存在个正数，
时，对于个自变量的值, 有
．
当时，
令存在个正数, ，
令，则，
对于个自变量的值,
此时

．   （10分）
因为, 所以

所以时结论也成立，                    （11分）
综上可得．
当时, ，             （12分）
所以在上单调递增，
所以

略