Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知△ABC的周长为6，且a，b，c成等比数列，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根据等差数列的性质得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，并利用基本不等式求出cosB≥

1

2

，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b=

ac

及基本不等式列出关于b的不等式，
求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b²=ac，得到关于b的一元二次不等式，进一步确定b的范围，再由S=

1

2

ac•sinB
=

1

2

b²•sinB，得到S的最大值．

解答：解：依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，c²
由余弦定理得：cosB=

a2+c 2-b 2

2ac

=

a2+c 2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，从而0＜b≤2，∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞

-3+ 5

2

，∴

-3+ 5

2

＜b≤2，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

b²•sinB≤

1

2

•2²•sin

π

3

=

3

，
则S的最大值为

3

，
故选C．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及二次函数最值的求法，其中根据余弦定理，等比数列的性质及不等式的解法得出B及b的范围是解本题的关键，属于中档题．