Question

如图，已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为AD₁、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求二面角B₁﹣D₁C﹣A的大小；
（3）求三棱锥B₁﹣ACD₁的体积．

Answer 1

（1）证明：连接AC，在△AD₁C中，
∵F为BD的中点，∴F为AC的中点
∵E为AD₁的中点， ∴EF∥D₁C
∵EF平面B₁D₁C，D₁C平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：取D₁C的中点M，连接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C为正三角形，M为CD₁的中点
∴AM⊥D₁C 同理，
在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁为二面角B₁﹣D₁C﹣A的平面角
∵正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1
∴ ， ， 
∴cos∠AMB₁= 
∴二面角B₁﹣D₁C﹣A的大小为arccos ；
（3）解：V_B1﹣ACD1=V_{ABCD﹣A1B1C1D1}﹣4V_B1﹣ABC=1﹣4× × ×1×1=