题目内容
已知圆M：(x+
)2+y2=36，定点N(
，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
=2
，
•
=0．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
=
+
，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
| 5 |
| 5 |
| NP |
| NQ |
| GQ |
| NP |
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
| OS |
| OA |
| OB |
（I）
?Q为PN的中点且GQ⊥PN?GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=
，
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
+
=1（5分）
（II）因为
=
+
，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得|
|=|
|，则四边形OASB为矩形∴
•
=0
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，
由
得
∴
•
=
＞0，与
•
=0矛盾，
故l的斜率存在．（7分）
设l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
?(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0
∴x1+x2=
，x1x2=
①
y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
②（9分）
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等．
|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=
| 5 |
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（II）因为
| OS |
| OA |
| OB |
若存在l使得|
| OS |
| AB |
| OA |
| OB |
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，
由
|
|
| OA |
| OB |
| 16 |
| 9 |
| OA |
| OB |
故l的斜率存在．（7分）
设l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
∴x1+x2=
| 36k2 |
| 9k2+4 |
| 36(k2-1) |
| 9k2+4 |
y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
| 20k2 |
| 9k2+4 |
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
| 3 |
| 2 |
∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等．
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黄冈小状元解决问题天天练系列答案
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