Question

设函数f（x）=x³﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（　　）

A．

x1＞﹣1

B．

x2＜0

C．

x2＞0

D．

x3＞2

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值；函数的零点．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．

解答：

解：∵函数f （x）=x³﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²﹣4．令f′（x）=0可得 x=．

∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．

故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．

故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．

再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜﹣，﹣＜x₂＜，x₃＞．

根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得 ＞x₂＞0．

故选C．

点评：

本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．