Question

已知函数f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)，证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：函数f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)=ax+1 - 

3

x+1

，设 x₂＞x₁＞-1，化简f（x₂）-f（x₁） 等于（ax2-ax1 ）+

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

，大于零，即f（x₂）＞f（x₁），
从而可得函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．

解答：证明：∵函数f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)=ax+1 - 

3

x+1

，设 x₂＞x₁＞-1，
f（x₂）-f（x₁）=ax2+1 - 

3

x2+1

-（ax1+1 - 

3

x1+1

 ）=（ax2-ax1 ）+（

3

x1+1

-

3

x2+1

） 
=（ax2-ax1 ）+

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

．
由 x₂＞x₁＞-1 可得，（ax2-ax1 ）＞0，

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，故f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查增函数的定义，证明一个函数在某区间上是增函数的方法，属于基础题．