Question

（2011•蓝山县模拟）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=

3000

x

，a=

y

2

-3=

1500

x

-3（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a，代入整理即得；
（2）由（1）知，占地面积S=3030-6x-

15000

x

=3030-（6x+

15000

x

），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．

解答：解：（1）由已知xy=3000，∴y=

3000

x

，其定义域是（6，500）．
S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a，
∵2a+6=y，∴a=

y

2

-3=

1500

x

-3，
∴S=(2x-10)•(

1500

x

-3)=3030-(

15000

x

+6x)，其定义域是（6，500）．
（2）S=3030-(

15000

x

+6x)≤3030-2

6x• 15000 x

=3030-2×300=2430，
当且仅当

15000

x

=6x，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，
此时，x=50，y=60，S_max=2430．
答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．