Question

已知x满足不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0，求函数f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）的值域．

Answer 1

分析：把“对数log₂x”作为一个整体，求不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0的解集，即求出log₂x的范围，利用对数的运算性质和换低公式，化简函数的解析式，再把“对数log₂x”作为一个整体利用配方法进行化简，由log₂x的范围和二次函数的性质，求出函数的值域．

解答：解：由题意知：（log₂x）²+7log₂x+6≤0，解得-6≤log₂x≤-1
∵f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）=（log₂⁴+log₂^x）（

1

2

log₂²+

1

2

log₂^x）
=

1

2

(log22x+3log2x+2)，
∴f(x)=

1

2

[log22x+3log2x+2]=

1

2

[log2x+

3

2

]2-

1

8

，
由-6≤log₂x≤-1得：0≤(log2x+

3

2

)2≤

81

4

，
∴当log₂x=-

3

2

时，f（x）有最小值是-

1

8

；当log₂x=-6时，f（x）有最大值是10，
∴-

1

8

≤f(x)≤10，
∴f（x）的值域是[-

1

8

，10]．

点评：本题考查了求对数型复合函数的值域，把“对数log₂x”作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想．