题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，数列{b_n}的前n项和T_n=3-b_n．
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②设c_n= $数学公式$ a_n• $数学公式$ b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

解：①由题意得a_n=S_n-S_n-1=4n-4（n≥2）
而n=1时a₁=S₁=0也符合上式
∴a_n=4n-4（n∈N⁺）
又∵b_n=T_n-T_n-1=b_n-1-b_n，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
而b₁=T₁=3-b₁，
∴b₁= $\text{[math]}$ ，
∴b_n= $\text{[math]}$
=3• $\text{[math]}$ （n∈N⁺）．
②C_n= $\text{[math]}$ a_n• $\text{[math]}$ b_n= $\text{[math]}$ （4n-4）× $\text{[math]}$ ×3 $\text{[math]}$
=（n-1） $\text{[math]}$ ，
∴R_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n
= $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1）• $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ R_n= $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +…+（n-2） $\text{[math]}$ +（n-1） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ R_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（n-1）• $\text{[math]}$ ，
∴R_n=1-（n+1） $\text{[math]}$ ．
分析：①利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），a₁=S₁可求出数列{a_n}的通项公式，利用b_n=T_n-T_n-1=b_n-1-b_n，可得{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，从而求出数列{b_n}的通项公式；
②根据数列{c_n}的通项特征可知利用错位相消法进行求和即可．
点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，同时考查了计算能力，属于中档题．