Question

函数f（x）=log₃（a^x-1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求该函数的定义域；
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），讨论f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）当a＞1时，由a^x-1＞0，求得x的范围，可得函数的定义域．当0＜a＜1时，由a^x-1＞0，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）根据该函数的图象经过点M（2，1），求得a=2，可得函数f（x）=log3(2x-1)，再根据函数的单调性的定义证明函数f（x）=log3(2x-1) 在
（0，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）当a＞1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．
当0＜a＜1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）．
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），则有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函数f（x）=log3(2x-1)，它的定义域为（0，+∞）．
设x₂＞x₁＞0，则 f（x₂）-f（x₁）=log3(2x2-1)-log3(2x1-1)=log3

2x2-1

2x1-1

．
再由题设x₂＞x₁＞0，可得2x2-1＞2x1-1＞0，∴

2x2-1

2x1-1

＞1，∴log3

2x2-1

2x1-1

＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）=log3(2x-1) 在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性规律，属于基础题．