Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴为4，且点(1，

3

2

)在该椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆径的圆经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由已知可求，a=2，由点(1，

3

2

)在该椭圆上，代入可求b，从而可求椭圆的方程
（II）AB为直径的圆过原点?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0，从而考虑设直线方程，联立直线于椭圆方程进行求解即可．

解答：解：（I）由题意2a=4，a=2
∵点(1，

3

2

)在该椭圆上，∴

1

4

+

3 4

b2

=1  解可得，b²=1
∴所求的椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
（II）由（I）知c²=a²-b²=3∴c=

3

，椭圆的右焦点为（

3

，0）
因为AB为直径的圆过原点，所以

OA

•

OB

=0
若直线的斜率不存在，则直线AB的方程为x=

3

交椭圆于(

3

，

1

2

)，(

3

，-

1

2

)两点

OA

•

OB

=

11

4

≠0不合题意
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-

3

)
由

y= k(x- 3 ) x2 4 + y2=1

可得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
由直线AB过椭圆的右焦点可知△＞0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

   x1 x2=

12k2-4

1+4k2

又y1y2=k2(x1-

3

)(x2-

3

)=k2[x1x2-

3

(x1+x2)+3]=

-k2

1+4k2

由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-4

1+4k2

+

-k2

1+4k2

=

11k2-4

1+4k2

=0可得k=±

2 11

11

所以直线l的方程为y=±

2 11

11

(x-

3

)

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程及直线于椭圆位置关系的应用，常见的解题思想是联立直线方程与曲线方程，通过方程的根与系数的关系进行求解．