Question

设，定义使a₁a₂a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的企盼数，则区间[1，2009]内的所有企盼数的和为    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2），再根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2，进而由等比数列前n项和公式可得结论．
解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=
∴a₁•a₂•a₃…a_k=×…×=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）==2026
故答案为：2026．
点评：本题考查新定义，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．