Question

根据下列条件求圆的方程：

（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.

Answer 1

（1）（x-4）²+(y+3)²=25.（2）x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.

解析:

（1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

,即x+y-1=0.

解方程组得圆心C的坐标为（4，-3）.

又圆的半径r=|OC|=5,

所以所求圆的方程为（x-4）²+(y+3)²=25.

（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0                                                                  ①

将P、Q点的坐标分别代入①得：

令x=0，由①得y²+Ey+F=0                                                                                  ④

由已知|y₁-y₂|=4，其中y₁、y₂是方程④的两根，

所以（y₁-y₂）²=(y₁+y₂)²-4y₁y₂=E²-4F=48                                                                     ⑤

解②、③、⑤组成的方程组得

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，

故所求圆的方程为

x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.