Question

已知函数f（x）=（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为b_n，数列{a_n}满足：a₁=N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求λ的取值范围；
（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）²，数列{c_n}满足：c₁=，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵．则，得，即，
∴数列是以2为首项、1为公差的等差数列，
故．（4分）
（Ⅱ）又∵，
∴函数f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线方程为：，
令x=0，得．
∴，仅当n=5时取得最小值，
只需，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范围为（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵，故c_n＞0，则，
即．（11分）
∴
=．
又=，
故．（14分）
分析：（Ⅰ）由．和，可得到最后由等差数列的定义求解即可．
（Ⅱ）通过求导得到切线的斜率，从而求得切线的方程，，令x=0，可得．化简由二次函数法求解即可．
（Ⅲ）结合（I）得g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），两边取倒数可得．再由错位相消法化简问题论证即可．
点评：本题是函数、数列、不等式、导数等的大型综合题，情景新颖，具有较好的区分度，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，是一种比较常见的题型，尤其数列不等式采用导数工具来处理的新题不可小视．