Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=

2

m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是

(1-

2

2

)m

．

Answer 1

分析：根据题意，该球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径．因此设内切球的半径为r，算出四棱锥P-ABCD的表面积，从而得到四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

（2+

2

）m²r，再根据PD是四棱锥的高且底面ABCD是正方形，得到V=

1

3

m³，由此即可解出内切球的半径r值，从而得到该球的最大半径．

解答：解：根据题意，球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径，设这个半径为r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴△PAD和△PCD都是直角边长为m的等腰直角三角形，
可得S_△PAD=S_△PCD=

1

2

m²
∵Rt△PAB中，PA=

2

m，AB=m，
∴S_△PAB=

1

2

PA•AB=

2

2

m²，同理可得S_△PCD=

2

2

m²
又∵S_ABCD=m²，∴四棱锥P-ABCD的表面积为S_表=S_△PAD+S_△PCD+S_△PAB+S_△PCD+S_ABCD=（2+

2

）m²
因此，四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S_表×r=

1

3

（2+

2

）m²r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S_ABCD×PD=

1

3

m³，
由此可得

1

3

（2+

2

）m²r=

1

3

m³，解之得r=

1

2+ 2

m=(1-

2

2

)m
因此，在四棱锥P-ABCD内放一个球，该球的最大半径是(1-

2

2

)m
故答案为：(1-

2

2

)m

点评：本题给出底面为正方形、一条侧棱与底面垂直的四棱锥，求它的内切球半径．着重考查了锥体体积公式和球的内切、外接多面体等知识，属于中档题．