Question

1．已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围；
（2）若a≠0且f（x）的值域是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的定义域为R，便知不等式ax²+2x+1＞0的解集为R，并可判断a＞0，同时还满足△＜0，这样即可得出实数a的取值范围；
（2）根据a≠0且f（x）的值域是R便知函数ax²+2x+1为二次函数，并且其值域真包含（0，+∞），这样便有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解该不等式组即得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，则不等式ax²+2x+1＞0的解集为R；
①若a=0，2x+1＞0的解集不为R；
②若a≠0，则：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$；
∴a＞1；
∴实数a的取值范围为：（1，+∞）；
（2）若a≠0且f（x）的值域是R，则：二次函数ax²+2x+1的值域真包含（0，+∞）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≥0}\end{array}\right.$；
∴0＜a≤1；
∴实数a的取值范围为：（0，1]．

点评 考查对数函数的定义域，及值域，一元二次不等式的解集为R时，判别式△及二次项系数的取值情况，以及真子集的概念．