Question

已知双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），过右焦点F₂且倾斜角为60°的线段F₂M与y轴交于M，与双曲线交于N，已知

MF2

=4

NF2

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  13 -1

  3

• B、

  13

  -1
• C、

  13+1

  3

• D、

  13

  +1

Answer 1

分析：先求出M的坐标，由

MF2

=4

NF2

，求得N的坐标，把N的坐标代入双曲线方程化简求得离心率 e 的大小．

解答：解：线段F₂M所在直线的斜率为 tan60°=

3

，方程为 y-0=

3

（x-c），
∴M（0，-

3

c）．    已知

MF2

=4

NF2

，设N （m，n ），则 （c，

3

c）=4（c-m，-n），
∴c=4c-4m，

3

c=-4n，∴m=

3c

4

，n=-

3

4

c，∴N（

3c

4

，-

3

4

c），
把N的坐标代入双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1 得  

9c2 16

a2

-

3c2 16

b2

=1，

9c2

16a2

-

3c2

16(c2-a2)

=1，

9c2-16a2

16a2

=

3c2

16(c2-a2)

，∴9c⁴-28a²c²+16a⁴=0，9e⁴-28e²+16=0，
∵e＞1，∴e²=

14+2 13

9

=(

13 +1

3

)2，∴e=

13 +1

3

，
故选 C．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出点N的坐标是解题的关键．