Question

设函数f（x）是实数集上的奇函数，且满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=log

1

2

(1-x)，则f（x）在（1，2）上是（　　）

A．增函数且f（x）＜0

B．增函数且f（x）＞0

C．减函数且f（x）＜0

D．减函数且f（x）＞0

Answer 1

分析：令t=x-1，当x∈（1，2）时，t∈（0，1），f（x）=f（t+1）=-f（t）=-log

1

2

(2-x)，故f（x）是减函数
且f（x）＜0．

解答：解：令t=x-1，则x=t+1，当x∈（1，2）时，t∈（0，1），
故f（x）=f（t+1）=-f（t）=-log

1

2

(1-t)=-log

1

2

(2-x)．
当 x∈（1，2）时，log

1

2

(2-x)是增函数，f（x）=-log

1

2

(2-x)是减函数．
由x∈（1，2）知，0＜2-x＜1，log

1

2

(2-x)＞0，f（x）=-log

1

2

(2-x)＜0．
故选C．

点评：本题主要考查对数函数的定义域、值域及单调性，求函数的解析式，换元时注意变量范围的变化，这是解题的易错点．