Question

设函数 f （x）=ax-lnx-3（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（Ⅰ）若函数g（x）的图象在点（0，0）处的切线也恰为f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，对任意的x∈（0，e]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得f（x₀）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求g（x）的图象在（0，0）处的切线方程是y=ex，再利用函数g（x）的图象在点（0，0）处的切线也恰为f（x）图象的一条切线，可求a的值；
（Ⅱ）先确定函数g（x）的值域，令m=g（x），则原命题等价于对于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立，而f′(x)=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e-1，e4]，分类讨论，确定函数的单调性，求函数的最值，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g'（0）=e，∴g（x）的图象在（0，0）处的切线方程是y=ex；（2分）
设y=ex与f（x）的图象切于点（x₀，y₀），而f′(x)=a-

1

x

，∴a-

1

x0

=e且ax₀-lnx₀-3=ex₀，解得a=e²+e；  （5分）
（Ⅱ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g（x）在（0，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e∈（0，1），∴g（x）∈（0，1]；      （8分）
若令m=g（x），则原命题等价于对于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立． （9分）
而f′(x)=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e-1，e4]
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递减，要满足条件，则必须有fmax=f(e-4)=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，无解，所以此时不存在满足条件的a；（10分）
②当0＜a≤e^-1，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递减，要满足条件，则必须有fmax=f(e-4)=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，解得0≤a≤

4

e

，∴0＜a≤e^-1；（11分）
③当e^-1＜a＜e⁴时，f（x）在区间(e-4，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e)上单调递增，
又f（e^-4）=ae^-4+1＞1，要满足条件，则fmin=f(

1

a

)≤f(e)=ae-4≤0，解得a≤

4

e

，∴e-4＜a≤

4

e

；（12分）
④当a≥e⁴时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上单调递增，
又fmin=f(e-4)=ae-4+1＞1，所以此时不存在a满足条件；   （13分）
综上有0＜a≤

4

e

．   （15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．