题目内容

已知数列{a_n}满足：a₁=3， $数学公式$ ，n∈N⁺．
（1）证明数列 $数学公式$ 为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2；
（3）设c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

（1）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 等比数列，且公比为2，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
（2）证明： $\text{[math]}$ ，
∴当n≥2时， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（3）解： $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，（10分）
∴[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，
∴（3n+2）（2-n）2ⁿ＞4n+4，
解n=1．
$\text{[math]}$
所以：c₁c₂＜c₂c₃＞c₃c₄＞…
故 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能够证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2） $\text{[math]}$ ，所以当n≥2时， $\text{[math]}$ ，由此能证明S_n＜2．
（3） $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，所以[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，解得n=1，由此能够求出c_nc_n+1的最大值．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，计算量大，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．