Question

（理科学生做）α，β是关于x的方程x²+2x+p²+1=0（p＞0）的两个虚根，若复平面上α，β，1对应点构成正三角形，那么实数p=

2 3

3

．

Answer 1

分析：由题意，可设α=m+ni，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=m-ni，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系得到m，n的关系，上α，β，1对应点构成正三角形，求得到实数p的值．

解答：解：设α=m+ni，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=m-ni，且m与n为实数，n≠0．
由根与系数的关系可得α+β=2m=-2，α•β=m²+n²=p²+1．
∴m=-1，p²=n²．
∵复平面上α，β，1对应点构成正三角形，
∴tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

=

|n|

2

，
解得|n|=

2 3

3

，
∴实数p=

2 3

3

，
故答案为

2 3

3

．

点评：本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，得到tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

，是解题的关键，属于基础题．