题目内容

已知数列{an}满足：a1=1，an=
1+2a
n
2
n为偶数
1
2
+2a
n-1
2
n为奇数
，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=1，2，3…，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；
（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由．
分析：（Ⅰ）由题设条件可知a2=1+2a1=3，a3=
1
2
+2a1=
5
2
，a4=1+2a2=7，a5=
1
2
+2a2=
13
2
．
（Ⅱ）由题意知bn+1=a2n+1，又a2n+1=(2a
2n
2
+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn，所以bn+1=2bn．再由b1=a21-1+1=a1+1=2可知bn=2n．
（Ⅲ）对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列．再用分析法进行证明．
解答：解：（Ⅰ）因为a1=1，所以a2=1+2a1=3，a3=
1
2
+2a1=
5
2
，a4=1+2a2=7，a5=
1
2
+2a2=
13
2
（3分）
（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bn=a2n-1+1，
所以bn+1=a2n+1（4分）
又a2n+1=(2a
2n
2
+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn
所以bn+1=2bn（6分）
又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）
（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，
a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）
我们先来证明：
“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-
k
2
”
由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．
当k为奇数时，a2n-1+k=
1
2
+2a
2n-1+k-1
2
=
1
2
+2a2n-2+
k-1
2

当k为偶数时，a2n-1+k=1+2a
2n-1+k
2
=1+2a2n-2+
k
2

记k1=
k
2
k为偶数
k-1
2
k为奇数

因此要证a2n-1+k=2n-1-
k
2
，只需证明a2n-2+k1=2n-1-1-
k1
2
，
其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*
（这是因为若a2n-2+k1=2n-1-1-
k1
2
，则当k1=
k-1
2
时，则k一定是奇数，
有a2n-1+k=
1
2
+2a
2n-1+k-1
2
=
1
2
+2a2n-2+
k-1
2

=
1
2
+2(2n-1-1-
k1
2
)=
1
2
+2(2n-1-1-
k-1
2
2
)=2n-1-
k
2
；
当k1=
k
2
时，则k一定是偶数，有a2n-1+k=1+2a
2n-1+k
2
=1+2a2n-2+
k
2

=1+2(2n-1-1-
k1
2
)=1+2(2n-1-1-
k
2
2
)=2n-1-
k
2
）
如此递推，要证a2n-2+k1=2n-1-1-
k1
2
，只要证明a2n-3+k2=2n-2-1-
k2
2
，
其中k2=
k1
2
k1为偶数
k1-1
2
k1为奇数
，k2∈（0，2n-3），k2∈N*
如此递推下去，我们只需证明a21+kn-2=22-1-
kn-2
2
，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*
即a21+1=22-1-
1
2
=3-
1
2
=
5
2
，即a3=
5
2
，由（I）可得，
所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-
k
2
，
对任意的m≥2，m∈N*，a2m+i=2m+1-1-
i
2
，a2m+i+1=2m+1-1-
i+1
2
，
其中i∈（0，2m-1），i∈N*，
所以a2m+i+1-a2m+i=-
1
2

又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-
1
2
，所以a2m+1-a2m=-
1
2

所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项，
是首项为a2m=2m+1-1，公差为-
1
2
的等差数列（13分）
说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，
因为a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1构成一个项数为2m2的等差数列，
所以从这个数列中任取连续的2m1项，也是一个项数为2m1，公差为-
1
2
的等差数列．
点评：本题考查数列性质的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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