题目内容

设f（x）=2cos（
π
4
 x+
π
3
），若对任意的x∈R，恒有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值是（　　）
分析：由题意确定x1、x2是函数f（x）取最大、最小值是对应x的值，再求出函数的周期，根据余弦函数的性质求出|x1-x2|的式子，再求出式子和最小值．
解答：解：∵f（x1）≤f（x）≤f（x2），
∴x1、x2是函数f（x）取最大、最小值是对应x的值，
故|x1-x2|一定是
T
2
的整数倍，
∵f（x）=2cos（
π
4
x+
π
3
）的最小正周期T=
2π
π
4
=8，
∴|x1-x2|=n×
T
2
=4n（n＞0，且n∈Z），
∴|x1-x2|的最小值为4，
故选A．
点评：本题考查了余弦函数的最值和周期的应用，以及函数恒成立问题，考查了转化思想．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=2cos（2x+
π
3
）+
3
（sinx+cosx）2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f（
π
4
+
C
2
）=
3
2
，且C为锐角，求sinA的值．
已知向量
m
=（cosx，1-asinx），
n
=（cosx，2），设f（x）=
m
•
n
，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．
（2013•烟台一模）设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈[0，
2π
3
]上是减函数，那么ω的值可以是（　　）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量
m
=（cos 
π
6
，cos（π-A）-1），
n
=（2cos（
π
2
-A），2sin 
π
6
），且
m
⊥
n

（1）求角A的大小．
（2）设f（x）=cos2x+2sinAsinxcosx，求f（x）的最小正周期，求当 x ∈[-
π
4
，
π
2
]时f（x）的值域．

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